Борис Александрович Смирнов родился 13(26) октября 1908 года в Петербурге. Учился в Ленинградском институте сценических искусств (1925-29). В 1929-42 актёр Ленинградского театра-студии под руководством С. Э. Радлова (с 1939 - Театр им. Ленсовета), в 1943-1950 Ленинградского театра Комедии, в 1950-1955 Московского театра им. Пушкина. С 1955 в труппе МХАТа.
   В 30-е гг. значительной работой Смирнова была роль Павки Корчагина («Как закалялась сталь» по Н. А. Островскому). Сыграл ряд ролей классического репертуара: Паратов («Бесприданница» А. Н. Островского), Ромео, Гамлет («Ромео и Джульетта», «Гамлет» Шекспира), Иванов («Иванов» Чехова), Бобылев («Тени» Салтыкова-Щедрина), Иван Карамазов («Братья Карамазовы» по Достоевскому).
   В Ленинградском театре Комедии играл Нелькина («Свадьба Кречинского» Сухово-Кобылина), Ковалевского («Софья Ковалевская» братьев Тур) и др.
   На сцене МХАТа мастерство актёра достигает вершин творческой зрелости: Смирнов создал образ В. И. Ленина в спектаклях «Кремлёвские куранты» (1956), «Третья патетическая» (1958) Погодина, «Шестое июля» Шатрова (1965). Здесь ярко раскрылись основные черты творчества Смирнова: органическое сочетание интеллекта, высокой гражданственности и эмоциональной приподнятости, отличное владение искусством монолога. Образ В. И. Ленина воплощён актёром и в кино - «Коммунист» (1958), «Лично известен» (1958), «Аппассионата» (1963), «Именем революции» (1964). Народный артист СССР (1963).
   Ленинская премия (1959). Награжден орденом Ленина, орденом Октябрьской Революции, орденом «Знак Почёта» и медалями.
   Скончался в 1982 году.